Почему, для того чтобы подать заявление в суд, я при входе должна показывать документ, удостоверяющий свою личность, и не нарушаются ли при этом мои права, ведь здание суда – государственное учреждение, куда любой может свободно обратиться?

Ваши права не нарушаются, так как подобные требования предусмотрены законодательством РФ. Предъявление паспорта не ограничивает право на правосудие, так как при наличии такого документа пристав обязан пропустить гражданина в здание. Если при проверке документов пристав выявит лицо, находящееся в розыске, он может использовать законные меры по его задержанию, передаче правоохранительным органам.